Vinko Puljic naît à Prijecani, dans le diocèse de Banja Luka, en Bosnie-Herzégovine, le 8 septembre 1945, douzième d'une famille très pratiquante de treize enfants. Sa mère meurt lorsqu'il a trois ans. Après ses études au séminaire interdiocésain de Zagreb et à celui de Djakovo, il est ordonné prêtre le 29 juin 1970. Chapelain à Banja Luka jusqu'au printemps 1973, il exerce quelques mois son ministère à Sasina, puis à la Curie épiscopale de Banja Luka. De 1973 à 1978, il est curé de Ravska, avant d'être nommé père spirituel au petit séminaire de Zadar. De 1987 à 1990, il est curé de Bosanska, avant d'être nommé en 1990 vice-recteur du grand séminaire de Vrhbosna.
Le 19 novembre 1990, il est nommé archevêque de Vrhbosna-Sarajevo, sixième du nom depuis la reconstitution de la hiérarchie ecclésiastique en 1881, après l'occupation turque. Dès le début des hostilités en Bosnie-Herzégovine, en novembre 1991, puis du siège de Sarajevo à partir d'avril 1992, il s'engage dans l'aide aux milliers de réfugiés et exilés, lançant en outre de nombreux appels au respect des droits inaliénables de la personne humaine, sans distinction de race ni de religion. Il est notamment l'une des chevilles ouvrières des rencontres interreligieuses d'octobre 1993 et de mai 1994 à Sarajevo. Malgré la guerre, et les risques pour sa propre vie, il continue à effectuer ses visites pastorales dans les paroisses de l'archidiocèse, souvent inquiété, une fois même arrêté quelques heures, lançant de multiples appels écrits et par radio pour la paix et la réconciliation. Il est créé cardinal par Jean-Paul II le 26 novembre 1994.