Laszlo Paskai naît le 8 mai 1927 à Szeged (Hongrie). Entré chez les franciscains, il fait ses études théologiques a Gyöngyös et à Budapest. Ordonné prêtre le 3 mars 1951, il obtient l'année suivante son doctorat en théologie à l'Académie de Budapest. De 1955 à 1962, il est professeur de philosophie au séminaire de Szeged, préfet des études au séminaire inter diocésain puis directeur spirituel. II exerce les mêmes fonctions en 1965 au séminaire de Budapest. Deux ans plus tard, il est nommé professeur de philosophie à l'Académie théologique et devient recteur du séminaire de Budapest en 1973. Paul Vl le nomme administrateur apostolique de Veszprem le 2 mars 1978. II devient évêque en titre de ce diocèse le 31 mars 1979. Jean-Paul II le nomme le 5 avril 1982 archevêque coadjuteur de Kalocsa. Élu président de la conférence épiscopale hongroise le 8 juillet 1986, après la mort du cardinal Lékai, il est transféré au siège primatial d'Esztergom-Budapest le 3 mars 1987. Il est créé cardinal par le pape le 28 juin 1988.