Né à Dallas (Texas) le 21 novembre 1926, William Wakefield Baum vient habiter encore enfant à Kansas City (Missouri), où il fait ses études primaires à l'école paroissiale de St Peter sous l'autorité du Père McKay qui a une grande influence dans la naissance de sa vocation. Entré en 1939 au petit séminaire de St-John de Kansas City, il suit des études de philosophie et de théologie au Kenrick Seminary de St-Louis et est ordonné prêtre le 12 mai 1951. Dans les années suivantes, il est vicaire à la paroisse St-Aloysius à Kansas City et professeur de théologie et d'histoire de l'Église au collège local de St-Theresa. En 1956, il est envoyé par son évêque à Rome où, après avoir suivi les cours de l'Angelicum, il passe un doctorat de théologie en 1958.
Rentré aux Etats-Unis, il est nommé curé de Sugar Creek près de Kansas City et en même temps reçoit les charges de notaire du tribunal ecclésiastique, secrétaire de la commission diocésaine pour l'apostolat liturgique et vice-chancelier de la Curie épiscopale. Par son intérêt actif à la cause de l'unité des chrétiens, il intervient en qualité d'expert aux travaux du concile Vatican II, et participe plusieurs fois, comme membre de la commission conjointe, aux réunions du conseil mondial des Églises. Il est élu secrétaire exécutif, de 1964 à 1967, du comité pour les affaires œcuméniques de la conférence épiscopale des Etats-Unis. Dans le même temps dans son diocèse, il est nommé curé de St-James et chancelier de la Curie épiscopale de Kansas City. Le 18 février 1970, Paul VI le nomme évêque de Springfield-Cape Girardeau. Le 5 mars 1976, il est nommé archevêque de Washington, charge qu'il occupe jusqu'au 18 mars 1980. Dans le même temps, il est aussi président de la commission pour les affaires œcuméniques de la conférence épiscopale des Etats-Unis.
Il est créé cardinal par Paul VI au consistoire du 24 mai 1976. Nommé par Jean-Paul II secrétaire de la congrégation pour l'éducation catholique le 15 janvier 1980, il devient en avril 1990 pénitencier majeur, c'est à dire responsable de l'un des tribunaux du Vatican, la Pénitencerie apostolique, charge qu'il occupe jusqu'au 22 novembre 2001.