Né le 14 avril 1936 à Bandra (État de Bombay), bastion du catholicisme indien, Ivan Dias est ordonné prêtre le 8 décembre 1958. Deux années plus tard, il gagne Rome pour intégrer le service diplomatique du Saint-Siège. Elève à l'Académie ecclésiastique de 1961 à 1964, il obtient un doctorat de droit canonique à l'université du Latran à Rome en 1964, et entre à la Secrétairerie d'État pour préparer la visite de Paul VI à Bombay, à l'occasion du congrès eucharistique international.
De 1965 à 1973, il est secrétaire dans diverses nonciatures (Danemark, Suède, Norvège, Islande, Finlande, Indonésie, Madagascar, Réunion, Comores, Maurice). Puis pendant neuf ans, il a plus particulièrement en charge les pays de l'Europe de l'Est, mais aussi de l'Afrique et de l'Asie, à la Secrétairerie d'État, et fait à cette occasion la connaissance de l'archevêque de Cracovie, Karol Wojtyla, futur Jean-Paul II. Ordonné évêque en 1982, il devient nonce apostolique au Ghana, Togo et Bénin, puis en Corée du Sud en 1987. Quatre ans plus tard, il assume la charge de premier nonce en Albanie, après la chute du pouvoir communiste. Durant cette période, c'est lui qui accueille Jean-Paul II à l'occasion de sa visite historique le 25 avril 1993. Dans la cathédrale de Scutari, le pape ordonne quatre évêques, reconstituant ainsi la hiérarchie catholique durement frappée par le régime communiste.
Le 8 novembre 1996, il est nommé au siège résidentiel de Bombay (Mumbai) comme archevêque. Jean-Paul II le crée cardinal le 21 février 2001.